d’Arrestovi předci byli francouzští protestanti, ale Heinrich se narodil v Berlíně, kam utekli před pronásledováním. Na místní univerzitě také získal odborné vzdělání. Jeho oborem byla matematika.
Už během těchto studií se věnoval astronomii, a to jak teoretickým výpočtům, tak i praktickému pozorování. Při sledování oblohy 9. července 1844 nalezl novou kometu, ale objev mu nemohl být přiznán. Stejný objekt totiž již o dva dny dříve pozoroval francouzský astronom Victor Mauvais. Další kometu d’Arrest objevil ještě téhož roku, konkrétně 28. prosince.
Roku 1845 nastoupil na astronomickou observatoř v Berlíně, kde působil jako asistent. Právě zde se podílel na nejvýznamnější události svého života. V té době bylo známo jen sedm planet Sluneční soustavy a poslední z nich, Uran, vykazovala odchylky od vypočítané dráhy. Protože jednou z možností, jak jev objasnit, bylo působení dalšího tělesa za drahou Uranu, pustili se dva astronomové do výpočtu dráhy tohoto objektu. Jeden z nich, Urbain Le Verrier, zaslal své výsledky také na berlínskou hvězdárnu. Dopis přišel na observatoř 23. září 1846 a ještě ten večer začal Johann Gottfried Galle s hledáním objektu. Nebyl však na to sám, pomáhal mu s tím právě d’Arrest. Už po necelé hodině objevili nedaleko vypočítané pozice „něco“, co na hvězdné mapě nebylo zakresleno. Další pozorování ukázala, že se jedná o novou planetu, která později získala jméno Neptun.
Dva roky po tomto objevu změnil d’Arrest působiště a začal pracovat na hvězdárně v Pleißenburgu. Zde se soustředil na pozorování objektů vzdáleného vesmíru. Nezanedbával však ani malá tělesa Sluneční soustavy. Vydal práci o drahách planetek a objevil další kometu.
Roku 1857 se přestěhoval do Kodaně, kde pokračoval ve sledování mlhavých objektů na obloze. Během této práce objevil více než tři sta mlhovin, galaxií a hvězdokup. Několik let zasvětil podrobnému zkoumání skupiny galaxií v souhvězdí Vlasy Bereniky. Také se pokoušel najít měsíce Marsu, ale v tom nebyl úspěšný. Zato se mu podařilo objevit planetku, kterou pojmenoval po bohyni ze severské mytologie (76) Freia.
d’Arrestova životní pouť se uzavřela také v Kodani, když zde 14. června 1875 zemřel na srdeční selhání. Bylo mu v té době necelých 53 let.
Se jménem tohoto astronoma se můžeme setkat na několika vesmírných objektech. Nesou jej krátery na Měsíci, Phobosu a také planetka s číslem 9133.
